2007年广州市初中毕业生学业考试数学试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）

 

　　1、下列各数中，最小的数是（   ）

 

　　A．－2     B．－1      C．0     D．

 

　　2、下列立体图形中，是多面体的是（   ）

 

 

　　3、下列计算中，正确的是（   ）

 

　　A．      B．     C．    D．

 

　　4、下列命题中，正确的是（   ）

 

　　A．对顶角相等    B．同位角相等    C．内错角相等   D．同旁内角互补

 

　　5、以为解的二元一次方程组是（   ）

 

　　A．     B．     C．    D．

 

　　6、下列各图中，是轴对称图案的是（   ）

 

 

　　7、二次函数与x轴的交点个数是（   ）

 

　　A．0             B．1             C．2            D．3

 

　　8、小明由A点出发向正东方向走10米到达B点，再由B点向东南方向走10米到达C点，则正确的是（   ）

 

　　A．∠ABC=22.5°           B．∠ABC=45°  

 

　　C．∠ABC=67.5°           D．∠ABC=135°

 

　　9、关于x的方程的两根同为负数，则（   ）

 

　　A．且            B．且

 

　　C．且            D．且

 

　　10、如图，⊙O是△ABC的内切圆，OD⊥AB于点D，交⊙O于点E，∠C=60°，如果⊙O的半径为2，则结论错误的是（   ）

 

　　A．         B．

 

　　C．           D．

 

 

　　二、填空题（每小题3分，共18分）

 

　　11、化简        

 

　　12、方程的解是          

 

　　13、线段AB=4㎝，在线段AB上截取BC=1㎝，则AC=       ㎝

 

　　14、若代数式有意义，则实数x的取值范围是           

 

　　15、已知广州市的土地总面积是7434，人均占有的土地面积S（单位：人），随全市人口n（单位：人）的变化而变化，则S与n的函数关系式是                        

 

　　16、如图，点D是AC的中点，将周长为4㎝的菱形ABCD沿对角线AC方向平移AD长度得到菱形OB’C’D’,则四边形OECF的周长是        ㎝

 

 

　　三、解答题

 

　　17、（9分）请以下列三个代数式中任选两个构造一个分式，并化简该分式。

 

　　                  

 

　　18、（9分）下图是一个立体图形的三视图，请写出这个立体图形的名称，并计算这个立体图形的体积。（结果保留）

 

 

　　19、（10分）甲、乙、丙三名学生各自随机选择到A、B两个书店购书，

 

　　（1）求甲、乙两名学生在不同书店购书的概率；

 

　　（2）求甲、乙、丙三名学生在同一书店购书的概率。

 

　　20、（10分）某校初三（1）班50名学生参加1分钟跳绳体育考试。1分钟跳绳次数与频数经统计后绘制出下面的频数分布表（60~70表示为大于等于60并且小于70）和扇形统计图。

 

 

　　（1）求m、n的值；

 

　　（2）求该班1分钟跳绳成绩在80分以上（含80分）的人数占全班人数的百分比；

 

　　（3）根据频数分布表估计该班学生1分钟跳绳的平均分大约是多少？并说明理由。

 

　　21、（12分）如图，在△ABC中，AB=AC，内切圆O与边BC、AC、AB分别切于D、E、F，

 

　　（1）求证：BF=CE；

 

　　（2）若∠C=30°，，求AC

 

 

　　22、（14分）二次函数图象过A、C、B三点，点A的坐标为（－1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB=OC

 

　　（1）求C的坐标；

 

　　（2）求二次函数的解析式，并求出函数最大值。

 

 

　　23、（12分）某博物馆的门票每张10元，一次购买30张到99张门票按8折优惠，一次购买100张以上（含100张）按7折优惠。甲班有56名学生，乙班有54名学生。

 

　　（1）若两班学生一起前往参观博物馆，请问购买门票最少共需花费多少元？

 

　　（2）当两班实际前往该博物馆参观的总人数多于30人且不足100人时，至少要多少人，才能使得按7折优惠购买100张门票比实际人数按8折优惠购买门票更便宜？

 

　　24、（14分）一次函数过点（1，4），且分别与x轴、y轴交于A、B点，点P（a，0）在x轴正半轴上运动，点Q（0，b）在y轴正半轴上运动，且PQ⊥AB

 

　　（1）求的值，并在直角坐标系中画出一次函数的图象；

 

　　（2）求a、b满足的等量关系式；

 

　　（3）若△APQ是等腰三角形，求△APQ的面积。

 

 

　　25、（12分）已知Rt△ABC中，AB=AC，在Rt△ADE中，AD=DE，连结EC，取EC中点M，连结DM和BM，

 

　　（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，

 

　　如图①，求证：BM=DM且BM⊥DM；

 

　　（2）如图①中的△ADE绕点A逆时针转小于45°的角，如图②，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明。

 

2007年梅州市初中毕业生学业考试数学试题及参考答案

下列公式供解题时参考：

 

（1）扇形弧长公式：．

 

（2）一组数据的方差公式：．

 

一、选择题：每小题3分，共15分．每小题给出四个答案，其中只有一个是正确的，把所选答案的编号填写在题目后面的括号内．

 

1．观察下面图案，在A，B，C，D四幅图案中，能通过图案（1）平移得到的是（    ）

 

 

2．下列事件中，必然事件是（    ）

 

A．中秋节晚上能看到月亮               B．今天考试小明能得满分

 

C．早晨的太阳从东方升起               D．明天气温会升高

 

3．如图1，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由处走到处这一过程中，他在地上的影子（    ）

 

 

Ａ．逐渐变短                     Ｂ．逐渐变长

             

Ｃ．先变短后变长              Ｄ．先变长后变短

 

４．比较的大小，正确的是（　　）

Ａ．            Ｂ．

 

Ｃ．                     Ｄ．

 

5．圆心距为6的两圆相外切，则以这两个圆的半径为根的一元二次方程是（    ）

 

A．           B．

 

C．            D．

 

二、填空题：每小题3分，共30分．答案填在横线上．

 

6．计算           ．

 

7．如图2，在中，分别是的中点，若，则     cm．

 

8．函数的自变量的取值范围是           ．

 

9．近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，则眼镜度数与镜片焦距之间的函数关系式为           ．

 

10．不等式组的解为             ．

 

11．在中国地理地图册上，连结上海、香港、台湾三地构成一个三角形，用刻度尺测得它们之间的距离如图3所示．飞机从台湾直飞上海的距离约为1286千米，那么飞机从台湾绕道香港再到上海的飞行距离约为         千米．

 

 

12．小明与父母从广州乘火车回梅州参观叶帅纪念馆，他们买到的火车票是同一排相邻的三个座位，那么小明恰好坐在父母中间的概率是         ．

 

13．将4个数排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式．若，则          ．

 

14．如图4，已知为等腰三角形纸片的底边，．将此三角形纸片沿剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平面四边形，则能拼出中心对称图形           个．

 

 

15．如图5，有一木质圆柱形笔筒的高为，底面半径为，现要围绕笔筒的表面由至（在圆柱的同一轴截面上）镶入一条银色金属线作为装饰，这条金属线的最短长度是                ．

 

三、解答下列各题：本题有10小题，共75分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．

 

16．本题满分6分．

 

计算：．

 

17．本题满分6分．

 

在市区内，我市乘坐出租车的价格（元）与路程（km）的函数关系图象如图6所示．

 

（1）请你根据图象写出两条信息；

 

（2）小明从学校出发乘坐出租车回家用了13元，求学校离小明家的路程．

 

 

18．本题满分6分．

 

计算：．

 

19．本题满分6分．

 

如图7，是平行四边形的对角线．

 

（1）请按如下步骤在图7中完成作图（保留作图痕迹）：

 

①分别以为圆心，以大于长为半径画弧，弧在两侧的交点分别为；

 

②连结分别与交于点．

 

（2）求证：．

 

 

20．本题满分7分．

 

甲、乙两位同学本学年11次数学单元测验成绩（整数）的统计如图8所示：

 

（1）分别求他们的平均分；

 

（2）请你从中挑选一人参加数学“学用杯”竞赛，并说明你挑选的理由．

 

 

21．本题满分7分．

 

如图9，点在以为直径的上，于，设．

 

（1）求弦的长；

 

（2）如果，求的最大值，并求出此时的值．

 

 

22．本题满分8分．

 

已知二次函数图象的顶点是，且过点．

 

（1）求二次函数的表达式，并在图10中画出它的图象；

 

（2）求证：对任意实数，点都不在这个二次函数的图象上．

 

 

23．本题满分8分．

 

如图11，中，，分别在上，沿对折，使点落在上的点处，且．

 

（1）求的长；

 

（2）判断四边形的形状，并证明你的结论．

 

 

24．本题满分10分．

 

梅林中学租用两辆小汽车（设速度相同）同时送1名带队老师及7名九年级的学生到县城参加数学竞赛，每辆限坐4人（不包括司机）．其中一辆小汽车在距离考场15km的地方出现故障，此时离截止进考场的时刻还有42分钟，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车，且这辆车的平均速度是60km/h，人步行的速度是5km/h（上、下车时间忽略不计）．

 

（1）若小汽车送4人到达考场，然后再回到出故障处接其他人，请你能过计算说明他们能否在截止进考场的时刻前到达考场；

 

（2）假如你是带队的老师，请你设计一种运送方案，使他们能在截止进考场的时刻前到达考场，并通过计算说明方案的可行性．

 

25．本题满分11分．

 

如图12，直角梯形中，，动点从点出发，沿方向移动，动点从点出发，在边上移动．设点移动的路程为，点移动的路程为，线段平分梯形的周长．

 

（1）求与的函数关系式，并求出的取值范围；

 

（2）当时，求的值；

 

（3）当不在边上时，线段能否平分梯形的面积？若能，求出此时的值；若不能，说明理由．

 

 

参考答案

 

一、选择题：每小题3分，共15分．每小题给出四个答案，其中有一个是正确的，把所选答案的编号填写在题目后面的括号内．

 

1．C；   2．C；   3．C；   4．A；   5．B．

 

二、填空题：每小题3分，共30分．答案填在横线上．

 

6．    7．    8．     9．  10．    11．     12． 13．       14．       15．

三、解答下列各题：本题有10小题，共75分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．

 

16．本题满分6分

 

解：原式············· 4分

 

            ．····················· 6分

 

17．本题满分6分

 

解：（1）在0到2km内都是5元；2km后，每增加0.625km加1元．······· 2分

 

（答案不唯一）

   （2）设射线的表达式为．依题意，得

 

  解得：．得．········· 5分

 

将代入上式，得．

 

所以小明家离学校7km．············· 6分

 

18．本题满分6分．

 

解：原式············ 4分

 

            ················ 5分

 

            ．·················· 6分

 

19．本题满分6分．

 

（1）作图如右·············· 2分

 

 

（2）证明：根据作图知，是的垂直平分线，··· 3分

 

所以，且．

 

因为是平行四边形，所以．··· 4分

 

所以．··············· 5分

 

所以．··················· 6分

 

20．本题满分7分．

 

解：（1）．

 

．··········· 4分

 

    （2）应选甲同学参加比赛．因为甲超过平均分的次数比乙多，比乙更容易获得高分（也可以从众数等方面去说明）．······· 7分

 

    （选乙时，分析图形直接得出或通过计算方差等说明乙的稳定性比甲好，也给满分）

21．解：（1）连结，········ 2分

 

 

所以，······ 3分

 

    得．（也可以根据求解）·········· 4分

 

（2）由于，所以，·········· 5分

 

得，所以的最大值为25，此时．········ 7分

 

22．本题满分8分．

 

解：（1）依题意可设此二次函数的表达式为，······ 2分

 

又点在它的图象上，可得，解得．········ 3分

 

所求为．············ 4分

 

令，得

 

画出其图象如右．··············· 5分

 

 

（2）证明：若点在此二次函数的图象上，

 

则．

 

得．·············· 7分

 

方程的判别式：，该方程无解．

 

所以原结论成立．············· 8分

 

23．本题满分8分．

 

解：（1）因为，所以是直角三角形，，

 

又，所以··· 2分

 

 

由，得，·········· 3分

 

又，所以，所以，··········· 4分

 

所以，得．············· 5分

 

（2）四边形是菱形．············· 6分

 

证明：由（1）知，，所以是平行四边形，······· 7分

 

又，所以四边形是菱形．·············· 8分

 

24．本题满分10分．

 

解：（1）（分钟），，

 

不能在限定时间内到达考场．·········· 4分

 

（2）方案1：先将4人用车送到考场，另外4人同时步行前往考场，汽车到考场后返回到与另外4人的相遇处再载他们到考场．····· 5分

 

先将4人用车送到考场所需时间为（分钟）．

 

    0.25小时另外4人步行了1.25km，此时他们与考场的距离为（km）····· 7分

设汽车返回后先步行的4人相遇，

 

，解得．

 

汽车由相遇点再去考场所需时间也是．········· 9分

 

所以用这一方案送这8人到考场共需．

 

所以这8个个能在截止进考场的时刻前赶到．··········· 10分

 

方案2：8人同时出发，4人步行，先将4人用车送到离出发点的处，然后这4个人步行前往考场，车回去接应后面的4人，使他们跟前面4人同时到达考场．··········· 6分

 

由处步行前考场需，

 

汽车从出发点到处需先步行的4人走了，

 

      设汽车返回（h）后与先步行的4人相遇，则有，解得，········· 8分

 

所以相遇点与考场的距离为．

 

由相遇点坐车到考场需．

 

所以先步行的4人到考场的总时间为，

 

先坐车的4人到考场的总时间为，

 

他们同时到达，则有，解得．

 

将代入上式，可得他们赶到考场所需时间为（分钟）．

 

．

 

他们能在截止进考场的时刻前到达考场．············· 10分

 

其他方案没有计算说明可行性的不给分．

 

25．本题满分11分．

 

解：（1）过作于，则，可得，

 

 

所以梯形的周长为18．··········· 1分

 

平分的周长，所以，········· 2分

 

因为，所以，

 

所求关系式为：．········ 3分

 

（2）依题意，只能在边上，．

 

，

 

因为，所以，所以，得········· 4分

 

，即，

 

解方程组   得．············ 6分

 

（3）梯形的面积为18．·········· 7分

 

当不在边上，则，

 

（）当时，在边上，．

 

如果线段能平分梯形的面积，则有····· 8分

 

可得：解得（舍去）．······· 9分

 

（）当时，点在边上，此时．

 

如果线段能平分梯形的面积，则有，

 

可得此方程组无解．

 

       所以当时，线段能平分梯形的面积．····· 11分

数学中考模拟试卷

　　一、精心选一选，相信自己的判断！

 

　　1．把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是

 

 

　　A                B                    C                     D

 

　　2．化简，结果正确的是

 

　　A．  B．    C．    D．

 

　　3．小明设计了一个关于实数运算的程序：输出的数比该数的平方小1，小刚按此程序输入后，输出的结果应为

 

　　A．10　          B．11　　       C．12　          D．13

 

　　4．如图4，两个正方体形状的积木摆成如图所示的塔形平放于桌面上，上面正方体下底的四个顶点恰好是下面相邻正方体的上底各边的中点，并且下面正方体的棱长为1，则能够看到部分的面积为

 

　　A．8      B．       C．      D．7

 

 

　　5．⊙O₁与⊙O₂的半径分别为2和5，当O₁O₂＝3.5时，两圆的位置关系是

 

　　A．  外切         B ．相交          C ． 内切         D．  内含

 

　　6．图3所示的两个圆盘中，指针落在每一个数字所在的扇形区域上的机会是相等的，那么两个指针同时落在偶数所在的扇形区域上的概率是

 

　　A．    B．    C．    D．

 

 

　　7．若弹簧的总长度y（cm）是所挂重物x（千克）的一次函数， 图象如图4所示，由图可知，不挂重物时，弹簧的长度是

 

　　A．10cm      B．9cm       C．8． 5m      D．7cm

 

 

　　8．甲、乙两同学从A地出发，骑自行车在同一条路上行驶到B地，他们离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系的图象如图6所示，根据图中提供的信息，有下列说法：

 

　　（1）他们都行驶了18千米；

 

　　（2）甲在途中停留了0.5小时；

 

　　（3）乙比甲晚出发了0.5小时；

 

　　（4）相遇后，甲的速度小于乙的速度；

 

　　（5）甲、乙两人同时到达目的地．

 

　　其中，符合图象描述的说法有

 

　　A．2个          B．3个          C．4个           D．5个

 

 

　　二、认真填一填，试试自己的身手！

 

　　9．分解因式＝         ．

 

　　10．某商店购进一批运动服，每件的售价为120元时，可获利20%，那么这批运动服的进价为是           ．

 

　　11．如图，在宽为20m，长为30m的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．根据图中数据，耕地的面积应为          

 

 

　　12．等腰梯形的上底、下底和腰长分别为4cm，10cm，6cm，则等腰梯形的下底角为             度．

 

　　13．据统计，湖南省常德市2005年农业总产值达到24 800 000 000元，用科学记数法可表示为        元．

 

　　14．如图，⊙O的半径OA=6，以点A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B，C两点，则BC等于          

 

 

　　15．如图，一牧童在A处牧马，牧童家在B处，A，B处距河岸的距离AC，BD分别为500m和700m，且CD=500m，天黑前牧童从A处将马赶到河边去饮水后再回家，那么牧童最少要走       m．

 

 

　　16．如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，点P是△ABC内一定点，延长BP至P^/，将△ABP绕点A旋转后，与△ACP^/重合，如果AP=，那么PP^/=           ．

 

 

　　三、用心做一做，显显你的能力！

 

　　17．(本题满分8分，每小题4分，共8分)

 

　　已知：a=2，求（1+）·（a²－1）值   已知：，求的值．

 

　　18．（本题满分7分）

 

　　如图，小丽在观察某建筑物．

 

　　（1）请你根据小亮在阳光下的投影，画出建筑物在阳光下的投影．

 

　　（2）已知小丽的身高为，在同一时刻测得小丽和建筑物的投影长分别为和，求建筑物的高．

 

 

　　19．（本题满分7分）

 

　　甲、乙两个商场在同一周内经营同一种商品，每天的获利情况如下表：

　　（1）请你计算出这两个商场在这周内每天获利的平均数，并说明这两个商场本周内总的获利情况；

 

　　（2）在图所示的网格图内画出两个商场每天获利的折线图；（甲商场用虚线，乙商场用实线）

 

　　（3）根据折线图请你预测下周一哪个商场的获利会多一些？并简单说出你的理由．

 

 

　　20．（本题满分8分）

 

　　某少儿活动中心在“六·一”活动中，举行了一次转盘摇奖活动．如图是一个可以自由转动的转盘，当转动停止时，指针落在哪一个区域就可以获得相应的奖品（落在分界线上时重新摇奖）．下表是活动进行中统计的有关数据．

 

 

　　（1）计算并完成表格：

 

转动转盘的次数n	100	150	200	500	800	1000
落在“铅笔”区域中的次数m	68	111	136	352	556	701
落在“铅笔”区域中的频率

 

　　 （2）当转动转盘的次数n很大时，概率将会接近多少？

 

　　21．某工厂现有甲种原料280kg，乙种原料190kg，计划用这两种原料生产两种产品50件，已知生产一件产品需甲种原料7kg、乙种原料3kg，可获利400元；生产一件产品需甲种原料3kg，乙种原料 5kg，可获利350元．

 

　　（1）请问工厂有哪几种生产方案？

 

　　（2）选择哪种方案可获利最大，最大利润是多少？

 

　　21．（本题满分9分）

 

　　某市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取每月用水量分段收费的办法，每户居民应交水费y（元）与用水量x（吨）之间的函数关系如图所示．

 

　　（1）分别求出当0≤x≤15和x≥15时，y与x的函数关系式；

 

　　（2）若一用户在某月的用水量为21吨，则应交水费多少元？

 

 

　　22．（本题满分10分）

 

　　如图1，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，四边形DEFG为△ABC的内接正方形，若设正方形的边长为x，容易算出x的长为．

 

　　探究与计算：

 

　　（1）如图2，若三角形内有并排的两个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，则正方形的边长为          ；

 

　　（2）如图3，若三角形内有并排的三个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，则正方形的边长为          ．

 

　　猜想与证明：

 

　　如图4，若三角形内有并排的n个全等的正方形，它们组成的矩形内接于△ABC，请你猜想正方形的边长是多少？并对你的猜想进行证明．

 

 

　　23．（本题满分11分）

 

　　阅读理解：

 

　　如图1中的△ABC是直角三角形，∠C=90?．现将△ABC补成矩形，使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合条件的矩形可以画出两个，如图2所示．

 

 

　　解决问题：

 

　　（1）设图2中的矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为S₁和S₂，则S₁    S₂（填“＞”，“=”或“＜；

 

　　（2）如图3中的△ABC是锐角三角形，且三边满足BC＞AC＞AB，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出      个，并在图3中把符合要求的矩形画出来．

 

　　猜想证明：

 

　　（1）在图3中所画出的矩形中，它们的面积之间具有怎样的关